Redakcja: Co w ekonomii rozumiemy jako instrumenty pochodne?

Prof. Krzysztof Jajuga: Instrument pochodny to instrument, który powinien zasadniczo służyć zarządzaniu ryzykiem. Jego wartość zależy od wartości tzw. instrumentu podstawowego, czy też bazowego, którym mogą być np. papiery wartościowe, kursy walut, towary, indeksy giełdowe czy nawet indeksy temperatury. Jeśli więc wartość instrumentu podstawowego się zmienia, to wtedy zmienia się też wartość instrumentu pochodnego. Wycena instrumentów pochodnych musiała być zaś przeprowadzona inną metodą niż wycena klasycznych instrumentów podstawowych typu akcje czy obligacje.

Na czym polegała metoda wyznaczania ich wartości, autorstwa Mertona i Scholesa?

Nagrodę pamięci Alfreda Nobla w dziedzinie nauk ekonomicznych z 1997 r. przyznano Robertowi Mertonowi i Myronowi Scholesowi, chociaż przy uzasadnieniu pojawiło się także nazwisko Fischera Blacka, który niestety 2 lata wcześniej zmarł. Ich nowatorstwo polegało na wymyśleniu koncepcji wyceny trudnych ogółem do wycenienia instrumentów pochodnych, zwanych „opcjami”. Stworzono więc metodę polegającą na tym, że konstruowano portfel złożony z instrumentu podstawowego (model dotyczył w szczególności akcji) oraz drugiego instrumentu, którym była właśnie opcja. W pierwotnym modelu była to opcja „call”, czyli opcja kupna, dająca prawo do zakupu instrumentu podstawowego po ustalonej cenie. Instrumenty zostały zaś tak dopasowane, aby portfel był w danej chwili wolny od ryzyka, tzn., żeby niezależnie od tego, co się stanie z wartością instrumentu podstawowego, wartość opcji call tak się zmieniała, aby wartość portfela pozostawała na tym samym poziomie.

I takie było właściwie to kluczowe osiągnięcie, aczkolwiek trzeba powiedzieć, że do wyprowadzenia głównego wzoru należało zastosować dość skomplikowany aparat matematyczny. Chodziło zwłaszcza o stochastyczne równanie różniczkowe, wcześniej w ekonomii nieznane i niestosowane. Dokonał tego w szczególności Merton, przywołując stary, pochodzący z lat 50. lemat Ito. Dzięki zastosowaniu czysto matematycznego lematu wyprowadzono wzór na wartość opcji call, co zostało później rozszerzone. Model Blacka-Scholesa to ten pierwszy model, opublikowany w 1973 r., ale opracowany tak naprawdę już 2 lata wcześniej. Dotyczył on instrumentu określanego jako europejska opcja call, a więc wyłącznie takiego, który można wykonać w określonym z góry terminie, czyli momencie wygaśnięcia opcji. Był to tym bardziej specyficzny rodzaj instrumentu pochodnego, że obejmował akcje spółek niewypłacających dywidendy.

Dwa miesiące później Merton, który trochę współpracował z Blackiem i Scholesem, opublikował artykuł, w jakim podał model rozszerzony. Z tego też powodu teraz mówi się często o metodologii Blacka-Scholesa-Mertona, a jeśli ktoś wspomina o modelu Blacka-Scholesa, to ma na myśli ten model pierwotny. Metodologia Blacka-Scholesa-Mertona dotyczy wszystkich klasycznych opcji europejskich, a więc zarówno „call”, jak i „put”, czyli tych, które dają prawo do zakupu, jak i tych umożliwiających prawo do sprzedaży.

Czy model Blacka-Scholesa-Mertona okazał się skuteczny w praktyce?

Tak, w pewnym sensie okazał się skuteczny, ponieważ jak głosi „legenda”, w momencie kiedy model ten został opublikowany w „Journal of Political Economy” w 1973 r., rozpoczęła również działalność Chicago Board Options Exchange, czyli taka najbardziej klasyczna giełda, na której handlowano właśnie opcjami. Zbiegło się to w czasie bardzo szybko, a kiedy panowie Black i Scholes pojawili się na giełdzie CBOE, otrzymali tam brawa, z racji tego, że dzięki nim inwestorzy mogli te opcje wyceniać, co wcześniej nie było możliwe. Co więcej, stanowiło to pierwsze takie zastosowanie finansowe, bardzo teoretyczne na początku, które prędko sprawdziło się w praktyce, przynajmniej w odniesieniu do pewnych rodzajów opcji. Zaledwie rok później kalkulator finansowy firmy Texas Instruments reklamował się faktem, że ma już wbudowany model Blacka-Scholesa.

Trzeba jednak pamiętać, że ten model opiera się na pewnych założeniach, w tym jednym bardzo istotnym, że zmienność instrumentu podstawowego jest stała w czasie. Według założenia ona jest stała, ale w praktyce wiemy, że taka nie jest i może się zmieniać. Późniejsze modele, które wychodziły z idei Blacka-Scholesa-Mertona już w większym stopniu to uogólniały, jak chociażby model Hestona, uwzględniający tę zmieniającą się zmienność. W tym sensie model na pewno sprawdza się przy klasycznych opcjach. Poza tym nawet jeśli niektóre z jego założeń nie sprawdzają się w praktyce, ale mimo tych pewnych wad inwestorzy chcą go powszechnie stosować, to najwyraźniej warto go używać.

Naukowcy ci otworzyli ogółem szeroki nurt badań, bo już po roku 1973 Merton opublikował artykuł dotyczący zastosowania tego modelu wyceny opcji również do analizy ryzyka kredytowego, czyli np. wyceny długu. Później napisano takich artykułów całe mnóstwo i gałąź ta cały czas rozwijała. Powstały np. nowe modele w odniesieniu do opcji egzotycznych, czyli takich opcji, które nie są klasyczne, ze zmianami parametrów itd. Przy pewnej części tych modeli cały czas idea Blacka-Scholesa-Mertona jest jednak stosowana.

Oglądaj całość